Trekantberegninger i navigasjon

Her skal vi bli bedre kjent med

• trekantberegninger til bruk i navigasjon
• eksempler innen avvikning og forandret lengde
• kurstrekanten
• bruk av kalkulator

Øystein Johnsen

 

Kort om trigonometri til bruk i navigasjon
Vi er avhengig av å kunne beregne sider og vinkler i rettvinklede trekanter når vi skal løse oppgaver i tradisjonell navigasjon. Det viser seg hvert år at nye studenter har forskjellig behov når det gjelder repetisjon av elementær trigonometri. Her følger i korthet det som vi absolutt må kunne beherske. Først noen definisjoner:

Komplementvinkler
Komplementvinkler a og b (b er komplementet til a, og a er komplementet til b). Dersom summen av to vinkler er 90°, kalles vinklene for komplementvinkler.

Nabovinkler
Spiss (a) og stump (b) vinkel. Her er a og b supplementvinkler eller nabovinkler. To nabovinkler utgjør til sammen

Toppvinkler
Linjene l og m skjærer hverandre i T, og vi får fire vinkler. Vinklene  og  har felles toppunkt og bein som går i motsatt retning. Slike vinkler kalles toppvinkler. To toppvinkler er alltid like store.

Samsvarende vinkler ved parallelle linjer
Når en linje l skjærer to andre, parallelle linjer, m og n, kommer det frem mange vinkler. Vinkler som har forskjellig toppunkt, men hvor begge har høyre eller venstre vinkelbein langs overskjæringslinjen l, kalles samsvarende vinkler.
Samsvarende vinkler er like store hvis de to overskårne linjene er parallelle. Vi kan se at det må være slik ved å rotere hele figuren 180° om midtpunktet mellom de to skjæringspunktene.

Rettvinklede trekanter
Vi skal gjøre beregninger på sider og vinkler på rettvinklede trekanter. Når to sider i en rettvinklet trekant er kjent er trekanten bestemt, den Pytagoreiske læresetningen kan brukes til å finne den tredje siden. Når alle sidene i trekanten er gitt er også formen på trekanten bestemt, det vil si også de to resterende vinklene. Dersom alle vinklene er kjent er formen på trekanten gitt, men ikke lengdene på sidene. Alle trekanter med like vinkler er formlike.

Vi lager en rettvinklet trekant slik figuren over viser, vi lager trekanten slik at den ene kateten er 30 % lenger enn den andre.

Katet 2 (vi kaller den motstående katet til vinkel A) tegner vi 30 % lenger enn katet 1 (hosliggende katet). F.eks. er katet1 = 10 cm og katet 2 = 13 cm. Vi ser ved måling at disse to trekantene og alle trekanter med forholdstall 13/10 har de samme vinklene og er likeformede. Forholdet   – altså motstående katet dividert med hosliggende katet – kalles tangens til vinkel A.

Vinkelen stemmer med den vi måler på trekanten vår dersom vi har vært nøyaktige med tegningen. Vinkel C kan vi lett finne når vi vet at vinkelsummen i en trekant alltid er 180°.

Vi får: 90° – 52,4° = 37,6°

Når vi står i vinkel A, kaller vi katet 2 for motstående katet, og katet 1 for hosliggende katet. Den lengste siden kaller vi hypotenusen. Tangens kan vi nå definere på følgende måte:

tan A = motstående katet / hosliggende katet = katet 2 / katet 1
Når vi bruker denne definisjonen på vinkel C får vi:

tan C = motstående katet / hosliggende katet = katet 1 / katet 2 = 10 / 13 = 0,77
Dette kan vi bruke til å regne ut vinkel C direkte ved hjelp av tangens.

Vi har nå studert forholdstallet tangens, som er definert ut i fra forholdstallet mellom katetene. Vi kan tenke oss at det finnes andre forholdstall som vi kan regne ut på en trekant.

Cosinusforholdet defineres slik: cos A = katet 1 / hypotenus

Sinusforholdet defineres slik: sin A = katet 2 / hypotenus

Hvilken av forholdstallene vi skal bruke, avhenger av hvilke sider og vinkler som er ukjente. Dersom vi skal beregne en hypotenus, kan vi for eksempel ikke bruke tangens, da tangens ikke inneholder hypotenus som parameter. Vi må velge mellom sinus eller cosinus.

Eksempel 1

Vi skal finne avstanden mellom to punkter A og B som ligger på hver sin side av en elv. Hvis vi er på samme side av elva som punktet A, finner vi først et punkt C som ligger slik at ∠CAB blir 90°. Vi har da en rettvinklet trekant ABC, og vi kan måle ∠C og kateten CA. Vi skritter opp CA = 20 m og måler ∠C = 65º.

Vi ser at når vi stiller oss i vinkel C blir side AB motstående katet og side CA hosliggende katet. Vi setter opp definisjonen på tangensforholdet og får:

tan C = BA / CA = x / 20 Vi setter inn for vinkel C og får:

tan 65° = x / 20 Vi får x = 20 tan 65° = 42.9 m

Kurstrekanten
Figuren under t.v. kjenner vi fra kapittelet om avvikning, hvor R er jordkulas radius, r er parallellsirklenes radius, b er parallellsirkelens bredde og A er jordas sentrum. Nå «snur» vi trekanten som vi kjenner fra matematikken, og får en nautisk kurstrekant, se figuren i midten. Her er A = avfarende plass, B = påkommende plass, k = kurs, a = avvikning, b = forandret bredde og d = utseilt distanse. I figuren t.h. er kurstrekanten tegnet inn i en forenklet kompassrose.
Figuren t.v. husker vi fra kapittelet om avvikning, figuren i midten viser kurstrekanten som i figuren t.h. er tegnet inn i en forenklet kompassrose.

Eksempel 2
Et fartøy seiler med en kurs 23°, avvikningen blir 8,0 nautiske mil.

1. Hva blir breddeforandringen?
2. Hvor langt har skipet seilt?

Her har jeg tegnet kurstrekanten inn i en forenklet kompassrose, hvor vinkel A gir fartøyets kurs 23°, og CB = a = avv, gir avvikningen 8,0 nautiske mil. Breddeforandringen blir AC = b = bf, og utseilt distanse blir AB = c = d.

1. a) Vi ser at dersom vi stiller oss i vinkel A = 23° kan vi sette opp tangensforholdet og sitte igjen med bare en ukjent, og da er likningen løsbar. Motstående katet til vinkel A = 23° er a, som er avv = avvikningen 8,0 nautiske mil. Hosliggende katet til vinkel A = 23° kaller vi b (som igjen er motstående til vinkel B), som i dette tilfellet er lik breddeforandringen.

tan 23° = 8.0 / bf, dette gir bf = 8.0 / tan 23° = 18.8 n.mil

1. b) Dette kan regnes ut på minst tre måter ved å benytte Pytagoras læresetning, sinusforholdet eller cosinusforholdet. Vi velger sinusforholdet. Utfør gjerne beregningene også med de to andre metodene.

tan 23° = 8.0 / d, dette gir d = 8.0 / sin 23° = 20.5 n.mil

Eksempel 3
Et skip har forandret bredde mot nord 28 nm og avvikningen mot øst er 8,0 nm.

1. Hvilken kurs har skipet seilt?
2. Hvor langt har skipet seilt?

Her bruker vi tangensforholdet siden begge katetene er kjent. 

1. a) Vi ser at dersom vi stiller oss i vinkel A, heretter kalt k som er skipets kurs, kan vi sette opp tangensforholdet og sitte igjen med bare k som ukjent. Da er likningen løsbar. Motstående katet til vinkel k er a, som er avv = avvikningen = 8,0 nautiske mil. Hosliggende katet til vinkel k er b (som igjen er motstående til vinkel B) som er bf = breddeforandringen = 28 nautiske mil.

                                                                            

1. b) Distansen kan regnes ut på flere måter. Nå velger vi Pytagoras. AB = d (distansen).

Tegn figur når kursen ikke ligger i 1. kvadrant
I figuren under t.v. er fartøyets kurs 165°, i 2. kvadrant. k i kurstrekanten blir da 180°-165° = 015°. Fartøyets kurs t.h. er 311° i 4. kvadrant, som gir k på 360°-311° = 04

Sinus, cosinus og tangens av henholdsvis 165° og 15°, og 311° og 49° gir samme tallverdi i svaret, men kan gi fortegnsendring, se kapittelet under om aksesystemet i navigasjon.

Aksesystemet i navigasjon
I navigasjon er det praktisk å regne 000° rett opp, og la vinkelen vokse med urviseren. Kvadranter og fortegn blir da slik:

En sinusformel (sin) gir oss som vi ser positivt svar i 1. og 2. kv., og negativt svar i 3. og 4. kv., mens tangensformelen (tan) er positiv i 1. og 3. kv. og negativ i 2. og 4.

Aksesystemet i matematikk
Til sammenligning ser vi hvordan aksesystemet er konstruert i matematikken, hvor vinkelen vokser mot urviseren.

Eksempler fra trigonometriberegning innen avvikning og forandret lengde ved bruk av kalkulator

Eksempel 4
På hvilken bredde ligger parallellsirkelen når omkretsen er:

a) 15400 nm. Her finner vi bredden ved hjelp av inversverdien til cos br. Vi tegner alltid en figur, og finner vinkel b som angir breddegraden til parallellsirkelen. Vinkel EAP = b er lik vinkel APB = b, se avsnittet om samsvarende vinkler ved parallelle linjer. Samtidig som E = ekvators omkrets, P = en vilkårlig parallellsirkels omkrets, og r = parallellsirkelens radius, kommer det også frem en trekant ABP, som vi kan anse som plan og rettvinklet.
Vi husker proporsjonen E : P = R : r hvor E = ekvators omkrets, P = en vilkårlig parallellsirkels omkrets, R = ekvators radius og r = parallellsirkelens radius, se figur. Vi snur proporsjonen lik P : E = r : R, dividerer parallellsirkelens omkrets på ekvators omkrets (P : E) og får et forholdstall som er lik inversverdien til cosinus til bredden.
På figuren er cos br = cos b. Vinkel A (BAP)=90°- b hvor motstående katet r, er parallellsirkelens radius. Hypotenusen, R er ekvators radius. Cos br = r : R. Hvis du benytter en Casio elektronregner kan du følge tastevalgene. 

 

b) 8900 nm. Vi bruker samme fremgangsmåte som under a), tegner en figur og får:
Svar: 65°40’02’’

Eksempel 5
Hvor mange nautiske mil er parallellsirkelens omkrets på:

a) 00°. Dette er ekvator. Omkretsen gis ved å multiplisere 360° med 60’.
Svar: 60’ · 360° = 21 600,0’ = 21 600.0 nm

Vi kunne også blindt fulgt definisjonen vår som sier: En parallellsirkels omkrets er lik ekvators omkrets multiplisert med cosinus til parallellsirkelens bredde. Vi husker at cos 0° er lik 1.
Svar: 21 600 nm · cos 0° = 21 600 nm

b) 60°. Ekvators omkrets · cos parallellsirkelens bredde.
Svar: 21 600 nm · cos 60° = 10 800,0 nm

Eksempel 6
Når lengdeforskjellen er én grad, hvor mange nautiske mil er det da mellom meridianene på

a) 00°00’. Dette er ekvator, og vi vet at svaret må være 60,0 nm. Vi kan sette opp:
Svar: 60’ · cos 00°00′ = 60.0 nm

b) 48°18′. En parallellsirkels omkrets er lik ekvators omkrets multiplisert med cosinus til parallellsirkelens bredde.
Svar: 60’ x cos 48°18′ = 39.9 nm

Eksempel 7
Hva er avstanden?

a) Hva er avstanden mellom to fartøyer som ligger på 50° bredde når lengdeforskjellen er 2°25′?
Vi ser at to fartøyer som ligger på en høyere eller lavere bredde enn ekvator, f.eks på hhv A og B, vil få en større fysisk avstand mellom seg hvis de seiler rett syd på hver sin meridian til hhv D og C på ekvator. En meridian har samme lengdegrad uansett hvor du seiler på den, og lengdeforskjellen mellom A og B må derfor være lik lengdeforskjellen mellom D og C. Den fysiske avstanden er størst på ekvator og blir stadig mindre til meridianene går sammen i polpunktene.

Vi må først finne lengdeforskjellen omgjort i minutter og i nautiske mil på ekvator,

2°25′ = 145’ = 145 nm. (2°25′.EXE = 2.41667 som multipliseres med 60’ = 145 nm.) Deretter multipliserer vi med cos 50º for å finne avv på 50º br.

Svar: 145 nm · cos 50° = 93.2 nm

b) Hva er avstanden mellom to fartøyer som ligger på 20° bredde når lengdeforskjellen er 3°25′?
Svar: (3°25′ = 205’) 205 nm · cos 20° = 192.6 nm

Eksempel 8
Når lengdeforskjellen er ett minutt, hvor mange meter er det på:
a) 00°. På ekvator er et minutt lik en nm lik 1852 m.

Svar: 1852 m · cos 00° = 1852 m

b) 42°. På ekvator er et minutt lik en nm lik 1852 m. Vi finner avv ved å multipliserer 1852 m med cos42º.
Svar: 1852 m · cos 42° = 1376.3 m

Eksempel 9
Hva er lengdeforskjellen / tilsvarende stykke på ekvator?
a) Et parallellsirkelstykke på N 39°15′ er 315,5 nm. Hvor langt er det tilsvarende stykke på ekvator?
Ekvators omkrets er lik en parallellsirkels omkrets dividert med cosinus til parallellsirkelens bredde, og det som er vist for hele sirkelen, gjelder også for deler av den.

Svar: 315,5 nm : cos 39°15′ = 407.4 nm

b) Hvor stor er lengdeforskjellen mellom to fartøyer på 43° bredde når avstanden mellom dem er 179 nm?
Lengdeforskjellen får vi ut i minutter og vi må gjøre om til grader og minutter.

Svar: 179 nm : cos 43° = 244,8’ = 4°04.8’  (244,8’:60’ = 4,08 (F5) = 4°04’48’’)

Eksempel 10
a) To fartøyer på samme bredde har en lengdeforskjell på 10°. På hvilken bredde må fartøyene ligge når avstanden mellom dem er 450 nm?
                                             
Vi går veien om ekvator. To fartøyer på ekvator som ligger med en lengdeforskjell på 10° har en avstand på 10° x 60’ = 600 nm. Avv på parallellsirkelen er oppgitt til 450 nm. På fig. er cos br = cos b, hvor P er en del av parallellsirkelens omkrets (450 nm). Hypotenusen, R = AP = E er en forholdsmessig tilsvarende del av ekvators omkrets (600 nm). Cos br = P : E gir inversverdien av bredden. Vi bruker samme fremgangsmåte som under forrige eksempel, og får: 

Svar: cos br = (450 : 600) nm = 0,75
br = 41,40962211° = 41°24’35’’

b) To fartøyer på samme bredde har en lengdeforskjell på 8°. På hvilken bredde må fartøyene ligge når avstanden mellom dem er 410 nm?
Vi bruker samme fremgangsmåte som under a), tegner en figur og får:

Svar: cos br = (410 : (8 x 60’)) nm = 0,8541666667
br = 31,33220671° = 31°19’56’’

Eksempel 11
To fartøyer er 400 nm fra hverandre. Begge er på N 62°12′, og begge fartøyer seiler rett sørover til de er på N 55°00′, hvor stor er da avstanden mellom dem?

Når begge fartøyene «seiler rett sørover» betyr det at de seiler langs hver sin meridian. Definisjonen sier at ekvators omkrets er lik en parallellsirkels omkrets dividert med cosinus til parallellsirkelens bredde, og det som er vist for hele sirkelen, gjelder også for deler av den. Parallellsirkelens bredde er N 62°12′, og avv er 400 nm. Vi finner først lengdeforskjellen på N 62°12′, som i minutter er lik avstanden i nm mellom fartøyene på ekvator. Så multipliserer vi avstanden på ekvator med cos 55°00′ for å få avstanden på N 55°00′.

Svar: (400 nm : cos 62°12′) x cos 55°00′ = 491.9 nm

Kalkulator ved bruk av parenteser og minne
Den største feilkilden vi har når vi bruker omfangsrike formler i f.eks storsirkel og astro, er uten sammenligning feil tasting av verdier med mange desimaler og feil bruk av kalkulatoren generelt. Ekstra obs må vi være ved bruk av parenteser, og spesielt ved divisjoner. En teller som inneholder flere elementer skal rammes inn i én parentes før den divideres med nevneren. Enkelte typer av kalkulatorer krever dette, hvis ikke blir det bare det siste elementet i telleren som divideres med nevneren. Og da får vi alt annet enn riktig svar. Det er bedre med 10 parenteser for mye, enn én for lite.